MATEMATICA

Saltar a: [|navegación], [|búsqueda] Los diversos [|polígonos] en la imagen constituyen un conjunto. Algunos de los elementos del conjunto, además de ser polígonos son [|regulares]. La colección de estos últimos — los polígonos regulares en la imagen— es otro conjunto, en particular, un [|subconjunto] del primero. En [|matemáticas], un **conjunto** es una colección de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos de la colección pueden ser cualquier cosa: [|personas], [|números], [|colores], [|letras], [|figuras], etc. Cada uno de los objetos en la colección es un **[|elemento]** o **miembro** del conjunto. [|[] [|1] [|]] Por ejemplo, el conjunto de los colores del [|arcoíris] es: //AI// = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos comparten. Por ejemplo, para los [|números naturales], si consideramos la propiedad de ser un [|número primo], el conjunto de los número primos es: //P// = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular el orden en el que se representen estos es irrelevante. Además, cada elemento puede aparecer de manera idéntica una sola vez, esto es, no puede haber elementos //totalmente idénticos// repetidos. Por ejemplo: //S// = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes} = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes, Miércoles}//AI// = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta} = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta, Naranja}Los conjuntos pueden ser [|finitos] o [|infinitos]. El conjunto de los número naturales es infinito, pero el conjunto de los [|planetas] en el [|Sistema Solar] es finito (tiene ocho elementos). Además, con los conjuntos pueden combinarse mediante [|operaciones], de manera similar a las [|operaciones con números]. Los conjuntos son un concepto [|básico], en el sentido de que no es posible definirlos en términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro lado, son el concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos matemáticos, como los números y las [|funciones], entre otros. Su estudio detallado requiere pues la introducción de [|axiomas] y conduce a la [|teoría de conjuntos].
 * MATEMATICAS **

Definición
[|Georg Cantor], uno de los fundadores de la [|teoría de conjuntos], dio la siguiente definición de conjunto: [...] entiendo en general por variedad o conjunto toda multiplicidad que puede ser pensada como unidad, esto es, toda colección de elementos determinados que pueden ser unidos en una totalidad mediante una ley. Los [|elementos] o miembros de un conjunto pueden ser cualquier cosa: [|números], personas, letras, otros conjuntos, etc. Los conjuntos se denotan habitualmente por letras mayúsculas. La propiedad más básica de los conjuntos es el hecho de que un conjunto queda definido únicamente por sus elementos. //A// y //B// tienen los mismos elementos si cada elemento de //A// es elemento de //B// y cada elemento de //B// pertenece a //A//.
 * > Dos conjuntos //A// y //B// que tengan los mismos elemento son el mismo conjunto, //A// = //B//. ||

Descripción de un conjunto
Existen dos maneras de describir o especificar los elementos de un conjunto: Una de ellas es mediante una **[|definición intensiva]**, usando una regla o definición [|semántica]: //A// es el conjunto cuyos miembros son los cuatro primeros números naturales.//B// es el conjunto de colores de la [|bandera de México].La segunda manera es por **[|extensión]**, esto es, listando cada miembro del conjunto. En una [|definición extensiva] se escriben los elementos del conjuntos entre [|llaves]: //C// = {4, 2, 3, 1}//D// = {blanco, rojo, verde}Puesto que un conjunto queda especificado únicamente por sus elementos, a menudo pueden usarse ambas definiciones, intensivas y extensivas, para especificar un mismo conjunto. Por ejemplo: «El conjunto de las [|vocales] en [|español]» = {e, u, a, i, o}En los ejemplos anteriores, se tiene que //A// = //C// y //B// = //D//Debido a la propiedad de la extensionalidad, el orden en el que se especifiquen los elementos de un conjunto es irrelevante (a diferencia de una [|tupla] o una [|sucesión]). Por ejemplo: //C//′ = {1, 2, 4, 3} es igual a //C// = {4, 2, 3, 1}//D//′ = {verde, blanco, rojo} es igual a //D// = {blanco, rojo, verde}Esto es así debido a que lo único que define un conjunto son sus elementos. Por ejemplo, cada elemento de //D// es un elemento de //D//′ y viceversa, luego ambos son necesariamente el mismo conjunto. Del mismo modo, y a diferencia de un [|multiconjunto], cada elemento de un conjunto es único: no puede repetirse o pertenecer «más de una vez». Esto significa que, por ejemplo: {4, 3, 2, 4} = {4, 2, 3} ,ya que los elementos de ambos conjuntos son los mismos: el 4, el 3 y el 2. No sería el caso si los números que consideramos tuvieran alguna otra propiedad que los diferenciase: {**4**, 3, 2, **4**} es distinto de {**4**, 2, 3} y de {**4**, 2, 3}Es habitual utilizar las llaves también en las definiciones intensivas, especificando la propiedad que define al conjunto: {Vocales del español} = {o, u, i, e, a}{[|Palos] de la [|baraja francesa]} = {♠, ♣, ♥, ♦}Otra notación habitual en matemáticas es: //F// = {//n//2 : //n// es un entero y 1 ≤ //n// ≤ 10} ,donde en esta expresión los [|dos puntos] («:») significan «tal que». Así, el conjunto anterior es el conjunto de «los números de la forma //n//2 tal que //n// es un número natural entre 1 y 10 (ambos inclusive)», o sea, el conjunto de los diez primeros [|cuadrados] de [|números naturales], {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100}. En lugar de los dos puntos se utiliza también la [|barra vertical] («|»).
 * Conjunto de personas.** El conjunto de «personas» mostrado en la imagen, //A//, tiene 8 [|miembros]. Este conjunto puede representarse mediante [|llaves] o mediante un [|diagrama de Venn]. El orden de las personas en //A// es irrelevante.
 * Relación de pertenencia.** El conjunto //A// es un conjunto de [|polígonos]. En la imagen, algunas de las figuras pertenecen a dicho conjunto, pero otras no.

Pertenencia
//Artículo principal: [|Elemento de un conjunto]// La relación clave en un conjunto es la **pertenencia**: cuándo es un elemento miembro de un conjunto. Si //a// es un miembro de //B//, se denota por //a// ∈ //B//, y si no lo es, se denota por //a// ∉ //B//. Por ejemplo, respecto a los conjuntos //A//, //B// y //F// de la sección anterior, podemos decir: 4 ∈ //A//, 36 ∈ //F// , verde ∈ //B// , pero7 ∉ //A// , 8 ∉ //F// , azul ∉ //B//Y se dice entonces que —por ejemplo—, 4 //pertenece// al conjunto //A//, es un //miembro// de //A//, //está// en //A//, etc.

Subconjuntos
//Artículo principal: [|Subconjunto]// Un subconjunto //A// de un conjunto //B//, es un conjunto que contiene algunos de los elementos de //B// (o quizá todos): Si //A// es un subconjunto de //B//, se escribe como //A// ⊆ //B// y se dice que «//A// está contenido en //B//». También puede escribirse //B// ⊇ //A//, y decirse que //B// es un **superconjunto** de //A// y también «//B// contiene a //A//» o «//B// incluye a //A//». Si //A// no sólo contiene algunos sino todos los elementos //B//, //A// no sólo es un subconjunto de //B//, sino que ambos conjuntos son iguales, //A// = //B//. El otro caso posible es que //A// contenga algunos pero **no todos** los elementos de //B//: //A// es un subconjunto de //B// pero no son iguales. Se dice entonces que //A// es un subconjunto **propio** de //B// y se denota //A// ⊊ //B//, es decir: //A// ⊆ //B// pero //A// ≠ //B// (y equivalentemente, para un superconjunto propio, //B// ⊋ //A//). (También se utiliza la notación //A// ⊂ //B// y //B// ⊃ //A//, pero según el autor esto puede denotar subconjunto, //A// ⊆ //B// y //B// ⊇ //A//; o subconjunto propio, //A// ⊊ //B// y //B// ⊋ //A//). El «conjunto de todos los hombres» es un subconjunto propio del «conjunto de todas las personas».{1, 3} ⊊ {1, 2, 3, 4}{1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4} == Cardinalidad  == Los conjuntos pueden ser [|finitos] o [|infinitos]. En el caso de un conjunto finito podemos contar los elementos del conjunto: El cardinal se denota por |//A//|, card(//A//) o #A. Así, en los ejemplos [|anteriores], se tiene que |//A//| = 4 (cuatro números), |//B//| = 3 (tres colores) y |//F//| = 10 (diez cuadrados). El único conjunto cuyo cardinal es 0 es el [|conjunto vacío] ∅. En un conjunto infinito no hay un número finito de elementos. Es el caso por ejemplo de los [|números naturales]: **N** = {1, 2, 3, ...}. Sin embargo, los conjuntos infinitos pueden compararse, y resulta que existen conjuntos infinitos «más grandes» que otros. El «número de elementos» de un conjunto infinito es un [|número transfinito]. Operaciones con conjuntos
 * Subconjunto.** //B// es un [|subconjunto] de //A// (en particular un [|subconjunto propio]).
 * > Un conjunto //A// es un **subconjunto** del conjunto //B// si cada elemento de //A// es a su vez un elemento de //B//. ||
 * Ejemplos.**
 * > El número de elementos de un conjunto finito es su **cardinal**. ||

Operaciones con conjuntos
//Artículo principal: [|Álgebra de conjuntos]// Existen varias operaciones básicas que pueden realizarse para, partiendo de ciertos conjuntos dados, obtener nuevos conjuntos: Ejemplos
 * **Unión.** La [|unión] de dos conjuntos //A// y //B// es el conjunto //A// ∪ //B// obtenido al juntar todos los elementos de //A// y de //B//.
 * **Intersección.** La [|intersección] de dos conjuntos //A// y //B// es el conjunto //A// ∩ //B// de los elementos comunes a //A// y //B//.
 * **Diferencia.** La [|diferencia] del conjunto //A// con //B// es el conjunto //A// \ //B// que resulta de eliminar de //A// cualquier elemento que esté en //B//.
 * **Complemento.** El [|complemento] de un conjunto //A// es el conjunto //A//∁ que contiene todos los elementos que no pertenecen a //A//.
 * **Diferencia simétrica.** La [|diferencia simétrica] de dos conjuntos //A// y //B// es el conjunto //A// Δ //B// con todos los elementos que pertenecen, o bien a //A//, o bien a //B//, pero no a ambos a la vez.
 * **Producto cartesiano.** El [|producto cartesiano] de dos conjuntos //A// y //B// es el conjunto //A// × //B// de todos los [|pares ordenados] (//a//, //b//) formados con un primer elemento //a// perteneciente a //A//, y un segundo elemento //b// perteneciente a //B//.
 * {1, //a//, 0} ∪ {2, //b//} = {2, //b//, 1, //a//, 0}
 * {5, //z//, ♠} ∩ {♠, //a//} = {♠}
 * {5, //z//, ♠} \ {♠, //a//} = {5, //z//}
 * {♠, 5} Δ {8, #, ♠} = {5, #, 8}
 * {1, //a//, 0} × {2, //b//} = {(1, 2), (1, //b//), (//a//, 2), (//a//, //b//), (0, 2), (0, //b//)}

Empleo
**La suma es una operación que se deriva de la operación de contar.** **Si tenemos 6 ovejas y compramos 2 ovejas ¿cuantas ovejas tenemos?. Una forma de hacerlo sería volver a contar todas las ovejas, pero alguien que hubiese contado varias veces el mismo caso, recordaria el resultado y no necesitaría volver a contar las ovejas. Sabria que 6 + 2 = 8.** **Los términos de la suma se llaman sumandos.** **Propiedades de la suma:** **a + b = b + a Esta propiedad se llama conmutativa.** **Si tenemos que sumar varios números podemos hacerlo en cualquier orden (esto se llama propiedad asociativa). Si tenemos que sumar a, b, c y d, podemos sumar primero a + b, despues c + d y despues sumar los dos resultados anteriores, o podemos sumar a + c, despues b + d y despues sumar los dos resultados anteriores o podemos sumar a + b y al resultado sumarle c y al resultado sumarle d. En fin podemos sumar los numeros en cualquier orden.** **La suma tiene elemento neutro. El cero es el elemento neutro de la suma porque siempre se cumple que a + 0 = a.** **La suma tiene elemento simétrico. El elemento simetrico de un número es otro que sumado al anterior da el elemento neutro. El elemento simetrico de a es -a, porque a + (-a) = 0** **RESTA O SUSTRACCIÓN:** **Igual que la suma la resta es una operación que se deriva de la operación de contar.** **Si tenemos 6 ovejas y los lobos se comen 2 ovejas ¿cuantas ovejas tenemos?. Una forma de hacerlo sería volver a contar todas las ovejas, pero alguien que hubiese contado varias veces el mismo caso, recordaria el resultado y no necesitaría volver a contar las ovejas. Sabria que 6 - 2 = 4.** **Los terminos de la resta se llaman minuendo (las ovejas que tenemos) y sustraendo (las ovejas que se comieron los lobos).** **Propiedades de la resta:** **La resta no tiene la propiedad conmutativa (no es lo mismo a - b que b - a)** ||
 * <span style="color: #008000; font-family: comic sans ms,arial,helvetica; font-size: 170%;">**SUMA:**


 * [[image:http://galeon.hispavista.com/matematicas131/img/2.jpg width="141" height="106" caption="Imagen"]] ||

<span style="color: #008000; font-family: comic sans ms,arial,helvetica; font-size: 170%;">**Muchas veces tenemos que sumar un número consigo mismo varias veces. Por ejemplo, si tenemos que sumar 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5, sería más breve representarlo así 5 * 7 (esto significaría sumar 5 condigo mismo 7 veces).** <span style="color: #008000; font-family: comic sans ms,arial,helvetica; font-size: 170%;">**La multiplicación es una forma abreviada de hacer un tipo especial de sumas.** <span style="color: #008000; font-family: comic sans ms,arial,helvetica; font-size: 170%;">**Los términos de la multiplicación se llaman multiplicando (el numero que se suma) y multiplicador (el número de veces que se suma).** <span style="color: #008000; font-family: comic sans ms,arial,helvetica; font-size: 170%;">**Propiedades de la multiplicación** <span style="color: #008000; font-family: comic sans ms,arial,helvetica; font-size: 170%;">**a * b = b * a. Esta propiedad se llama propiedad conmutativa** <span style="color: #008000; font-family: comic sans ms,arial,helvetica; font-size: 170%;">**Si tenemos que multiplicar varios números podemos hacerlo en cualquier orden (esto se llama propiedad asociativa). Si tenemos que multiplicar a, b, c y d, podemos multiplicar primero a. b, después c. d y después multiplicar los dos resultados anteriores, o podemos multiplicar a. c, después b. d y después multiplicar los dos resultados anteriores o podemos multiplicar a. b y multiplicar el resultado por c y después multiplicarlo por d. En fin podemos multiplicar los números en cualquier orden.** <span style="color: #008000; font-family: comic sans ms,arial,helvetica; font-size: 170%;">**La multiplicación tiene elemento neutro. El uno es el elemento neutro de la multiplicación porque siempre se cumple que a .1 = a.** <span style="color: #008000; font-family: comic sans ms,arial,helvetica; font-size: 170%;">**La multiplicación tiene elemento simétrico. El elemento simétrico de un número es otro que multiplicado por el anterior da el elemento neutro. El elemento simétrico de a es 1/a, porque a / a = 0** <span style="color: #008000; font-family: comic sans ms,arial,helvetica; font-size: 170%;">**a(b + c) = a. c + a. d. Esta propiedad se llama distributiva respecto a la suma.** <span style="color: #008000; font-family: comic sans ms,arial,helvetica; font-size: 170%;">**DIVISIÓN:** <span style="color: #008000; font-family: comic sans ms,arial,helvetica; font-size: 170%;">**La división es la operación que tenemos que hacer para repartir un numero de cosas entre un número de personas.** <span style="color: #008000; font-family: comic sans ms,arial,helvetica; font-size: 170%;">**Los términos de la división se llaman dividendo (el número de cosas), divisor (el número de personas), cociente (el numero que le corresponde a cada persona) y resto (lo que sobra).** <span style="color: #008000; font-family: comic sans ms,arial,helvetica; font-size: 170%;">**Si el resto es cero la división se llama exacta y en caso contrario inexacta.** <span style="color: #008000; font-family: comic sans ms,arial,helvetica; font-size: 170%;">**Propiedades de la división** <span style="color: #008000; font-family: comic sans ms,arial,helvetica; font-size: 170%;">**La división no tiene la propiedad conmutativa. No es lo mismo a/b que b/a.** ||
 * <span style="color: #008000; font-family: comic sans ms,arial,helvetica; font-size: 170%;">**PRODUCTO O MULTIPLICACIÓN:**


 * [[image:http://galeon.hispavista.com/matematicas131/img/3.JPG width="138" height="98" caption="Imagen"]] ||